Mappa logistica e critical slowing down attraverso punti critici

Abstract

In questa tesi si analizzano le proprietà e caratteristiche di mappe uni-dimensionali e leggi prive di memoria utilizzando un esempio in particolare: la Mappa Logistica. Dopo aver infatti discusso le sue proprietà ed il suo comportamento, si analizzeranno i suoi punti fissi, la loro stabilità e la velocità con cui vengono raggiunti. Dopodiché verrà trattata brevemente la teoria del caos sfruttando una delle tre principali route to chaos, ossia quella delle period doubling bifurcation. Nell’ultima sezione infine, si esaminerà il fenomeno del Critical Slowing Down, che generalmente avviene quando un sistema dinamico modifica le sue proprietà di stabilità a causa della variazione di uno o più suoi parametri. Tale concetto risulta estremamente importante dal punto di vista predittivo, ovvero quando si tentasse di osservare una serie temporale cercando di capire se e quanto si sia vicini a un punto di cambio di stabilità (anche detto colloquialmente “tipping point”). La mappa logistica fornisce un modello estremamente semplice nel quale studiare questo interessante fenomeno.

In this thesis, the properties and characteristics of one-dimensional maps and memoryless laws are analyzed using a specific example: the Logistic Map. After discussing its properties and behavior, we will examine its fixed points, their stability, and the rate at which they are reached. Following that, a brief overview of chaos theory will be provided, focusing on one of the three main routes to chaos, namely, period doubling bifurcation. In the final section, we will investigate the phenomenon of Critical Slowing Down, which typically occurs when a dynamic system alters its stability properties due to changes in one or more of its parameters. This concept is of utmost importance from a predictive standpoint, especially when attempting to observe a time series to understand if and how close we are to a point of stability change (often colloquially referred to as a "tipping point"). The logistic map provides an exceedingly simple model in which to study this intriguing phenomenon.