Differenze Finite ed Equazioni alle Differenze: applicazioni

Abstract

In questa tesi vengono presentate le differenze finite e le equazioni alle differenze. Si divide in due parti: nella prima si trattano i concetti teorici, con numerosi esempi. Nella seconda si affrontano alcune applicazioni: il calcolo delle serie numeriche e l'approssimazione delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.

La differenza finita è l'analogo discreto dell'operatore di derivazione. Inoltre, la differenza finita applicata ad un polinomio, espresso secondo la base delle potenze fattoriali, si comporta esattamente come la derivata applicata ad un polinomio, espresso secondo la base canonica.

Le equazioni alle differenze invece sono l'analogo discreto delle quazioni differenziali. Molte di esse possono essere ricondotte ad equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti e pertanto se ne approfondisce lo studio. Si dimostra che la soluzione generale di un'equazione alle differenze lineare è sempre somma di una qualsiasi soluzione particolare e una combinazione di tutte le soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea associata.

Le differenze finite si possono applicare al calcolo delle serie numeriche. Si può definire, a meno di una costante, l'operatore antidifferenza, che si comporta in modo analogo all'integrale. Si dimostra che lo scarto tra due valori dell'antidifferenza è uguale ad una somma di differenze finite. Sfruttando questa proprietà, si interpretano le ridotte di una serie come l'antidifferenza di una qualche successione. Le equazioni alle differenze invece sono molto utilizzate nelle approssimazioni delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie. Un modo per ottenere un'equazione alle differenze, facilmente risolvibile in modo iterativo, è per esempio il metodo di Eulero esplicito: si dimostra che si può scegliere un numero N di nodi sufficientemente grande tale da rendere l'errore di approssimazione inferiore ad una soglia prefissata.

In this thesis, are presented the finite difference operator and the difference equations. It is divided into two parts.The first deals with the theory, with numerous examples, and the second some applications: the calculation of numerical series and the approximation of the solutions of ordinary differential equations.

The finite difference is the discrete version of the differentiation operator. Furthermore, the finite difference applied to a polynomial, expressed with the basis of factorial powers, behaves exactly like the derivative applied to a polynomial, expressed with the canonical basis.

Difference equations are the discrete version of differential equations. Many of them can be turned to linear difference equations with constant coefficients. It is shown that the general solution of a linear difference equation is always the sum of any particular solution and a combination of all linearly independent solutions of the associated homogeneous one.

Finite differences can be applied to the calculation of numerical series. We can define the antidifference operator, which behaves similarly to the integral. It is shown that the gap between two values ​​of the antidifference is equal to a sum of finite differences, so the partial sum of a series is interpreted as the antidifference of some sequence.

Difference equations are widely used in approximating the solutions of ordinary differential equations. We can obtain a difference equation, easily solvable in an iterative way, with the explicit Euler method: it is shown that it is possible to choose a number N of nodes large enough to make the approximation error lower than a threshold predetermined.