Forme differenziali e teorema di Stokes.

Abstract

La geometria differenziale nasce dalla necessità di svolgere il calcolo differenziale dell'analisi classica per funzioni non più definite su Rn. Infatti l'analisi classica è definita su $\R^n$, uno spazio piatto, ma non è generalizzabile a funzioni definite su superfici curve, come ad esempio una sfera o un toro. Vi sono tuttavia numerosi ambiti scientifici, come l'elettromagnetismo, in cui si richiede di svolgere dell'analisi su funzioni definite su superfici curve. La geometria differenziale è quindi un ponte tra l'analisi classica e la geometria; l'osservazione principale su cui si fonda è che il calcolo differenziale si occupa solo del comportamento local di una funzione e pertanto Riemann, nel 1854, ampliando alcune idee di Gauss ricostruì il calcolo differenziale su superfici che solo localmente sono come aperti di Rn in un senso che verrà successivamente definito. Tali superfici sono dette varietà differenziabili e sono l'oggetto principale dello studio della geometria differenziale. Dalla definizione di varietà differenziabile, si passa alla definizione delle forme differenziali, la derivazione e l'integrazione di esse, arrivando infine al teorema di Stokes, una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Il teorema di Stokes è un importante risultato, da cui seguono teoremi come quelli della divergenza e di Gauss-Green.

Differential geometry was born from the need to compute differential calculus of the classic analysis for functions not on Rn. Indeed, classic analysis is defined on Rn, a plain space, but is not generalizable on functions defined on curved surfaces, such as a sphere or a torus. There are however many scientific fields, such as elettromagnetism, in which there is a strong need to use analysis on functions defined on curved surfaces. Differential geometry is a brigde which connects classical analysis and geometry; the foundation of differential geometry is the important observation about the fact that the classic analysis studies the local behaviour of a function and so Riemann, in 1854, rebuilt differential calculus on surfaces which are like Rn only locally, in a way that will be defined. These surfaces are called manifolds and are the main focus of differential geometry. From the definition of manifolds, we'll define the differential forms, their derivation and integration, finally arriving at Stokes' theorem, a generalization of the fundamental theorem of calculus. Stokes' theorem is an important result, from which follows theorems such as divergence's theorem and Gauss-Green's theorem.