Gruppi algebrici affini riduttivi

Abstract

La tesi ha come obiettivo fornire un’introduzione alla Geometric Invariant Theory (GIT) di D. Mumford, seguendo un percorso cronologico-concettuale a partire dai gruppi di matrici fino ad arrivare ai gruppi algebrici affini riduttivi. Si mette in evidenza il ruolo centrale della rigidità della struttura dei gruppi algebrici affini riduttivi nella GIT. L’elaborato si articola in tre capitoli, in cui si affianca l’aspetto puramente teorico con esempi concreti. Il primo si focalizza sui gruppi di matrici (generale lineare, speciale lineare, triangolare superiore e diagonale) e le loro forme canoniche, mediante le decomposizioni additiva e moltiplicativa di Jordan. Il secondo inizia con un accenno alla struttura geometrica dei gruppi algebrici affini, le varietà algebriche affini, e prosegue con la definizione di gruppi algebrici affini, con alcune loro proprietà e con l’equivalenza con le algebre di Hopf ridotte e finitamente generate. Si enuncia il Teorema di Immersione di Chevalley che descrive l’isomorfismo tra i gruppi algebrici affini e i sottogruppi chiusi del gruppo generale lineare. Questa inclusione legittima la ricerca di forme canoniche, analoghe alle forme canoniche di matrici, che si concretizzano nel Teorema di Jordan per i gruppi algebrici affini e in alcuni teoremi di triangolazione sotto alcune ipotesi aggiuntive. Il terzo capitolo è dedicato ai gruppi algebrici affini riduttivi: in analogia con il capitolo precedente, si studiano le varietà proiettive e alcuni risultati significativi sulla rigidità della struttura, tra cui il Teorema del punto fisso di Borel. La sezione termina con i sottogruppi di Borel, con la classificazione in gruppi algebrici affini semisemplici e riduttivi e con una caratterizzazione geometrica della riduttività.

The aim of this thesis is to provide an introduction to D. Mumford’s Geometric Invariant Theory (GIT), following a chronological and conceptual path that begins with matrix groups and extends to reductive affine algebraic groups. The dissertation highlights the central role of the structural rigidity of reductive affine algebraic groups in GIT. The paper is divided into three chapters, in which purely theoretical aspects are complemented by concrete examples. The first chapter focuses on matrix groups (general linear, special linear, upper triangular and diagonal) and their canonical forms, using Jordan’s additive and multiplicative decompositions. The second chapter begins with a brief overview of the geometric structure of affine algebraic groups, affine algebraic varieties, and continues with the definition of affine algebraic groups, some of their properties, and their equivalence to reduced and finitely generated Hopf algebras. We state Chevalley’s Immersion Theorem, which describes the isomorphism between affine algebraic groups and the closed subgroups of the general linear group. This inclusion justifies the search for canonical forms, analogous to the canonical forms of matrices, which are embodied in Jordan’s Theorem for affine algebraic groups and in certain triangulation theorems under some additional assumptions. The third chapter is devoted to reductive affine algebraic groups: by analogy with the previous chapter, we study projective varieties and some significant results on the rigidity of the structure, including Borel’s Fixed Point Theorem. The section concludes with Borel subgroups, the classification into semisimple and reductive affine algebraic groups and a geometric characterization of reductivity.