Il teorema fondamentale del calcolo integrale nella teoria di Lebesgue, integrazione, derivazione e funzioni assolutamente continue.

Abstract

Lo scopo di questa tesi è quello di approfondire il teorema fondamentale del calcolo integrale, uno dei risultati più importanti dell’analisi matematica. Nella sua formulazione classica, il teorema stabilisce una connessione tra integrazione e derivazione per funzioni continue definite su intervalli limitati, nell’ambito dell’integrale di Riemann. In particolare, esso garantisce che tali operazioni siano, sotto opportune ipotesi, inverse l’una dell’altra. L’obiettivo principale del lavoro è studiare in che misura questo risultato possa essere generalizzato nel contesto dell’integrazione secondo Lebesgue e per funzioni di più variabili. Dopo un capitolo introduttivo dedicato ai richiami teorici essenziali, viene presentata una prima versione del teorema, seguita dalla sua estensione attraverso il teorema di differenziazione di Lebesgue. A tal fine, si introduce la funzione massimale di Hardy-Littlewood, di cui vengono analizzate le principali proprietà. Successivamente, la trattazione si concentra sulla seconda parte del teorema fondamentale. Partendo dallo studio delle funzioni monotone, si giunge alla classe delle funzioni a variazione limitata, che ne rappresentano una generalizzazione. Tuttavia, tale classe risulta essere ancora troppo ampia per garantire la validità del teorema. Si rende quindi necessario restringere l’attenzione alle funzioni assolutamente continue, che costituiscono il contesto naturale in cui il teorema può essere formulato nella sua piena generalità nell’ambito della teoria di Lebesgue.

The aim of this thesis is to delve deeper into the fundamental theorem of integral calculus, one of the most important results in mathematical analysis. In its classical formulation, the theorem establishes a connection between integration and differentiation for continuous functions defined on bounded intervals, within the framework of the Riemann integral. In particular, it guarantees that these operations are, under appropriate assumptions, mutually inverse. The main objective of this work is to study the extent to which this result can be generalized to Lebesgue integration and to functions of several variables. After an introductory chapter devoted to essential theoretical references, a first version of the theorem is presented, followed by its extension via the Lebesgue differentiation theorem. To this end, the maximal Hardy-Littlewood function is introduced, and its main properties are analyzed. Subsequently, the discussion focuses on the second part of the fundamental theorem. Starting from the study of monotone functions, we arrive at the class of functions of bounded variation, which represent a generalization of it. However, this class is still too broad to guarantee the validity of the theorem. It is therefore necessary to restrict our attention to absolutely continuous functions, which constitute the natural context in which the theorem can be formulated in its full generality within the framework of Lebesgue theory.