Misure esterne e misure di Hausdorff

Abstract

Il presente elaborato si propone, tramite l'ausilio delle misure esterne, di introdurre le misure di Hausdorff come raffinamento della misura di Lebesgue su R^n. Nella prima parte, dopo aver richiamato i fondamenti della teoria della misura e il Teorema di rappresentazione di Riesz, viene approfondito il concetto di misura esterna e, tramite il Teorema di estensione di Carathéodory, si vede come questo sia legato al concetto di misura positiva. Più precisamente si mostra come le misure esterne siano uno strumento per costruire misure positive. In questo modo si ritrova la misura di Lebesgue e si definiscono le misure di Hausdorff. Successivamente, dopo aver definito le misure di Hausdorff s-dimensionali e averne studiato le proprietà fondamentali, si giunge alla definizione di dimensione di Hausdorff. La parte conclusiva della tesi è dedicata allo studio della relazione tra la misura di Hausdorff e la misura di Lebesgue. Attraverso l'utilizzo della simmetrizzazione di Steiner e la disuguaglianza isodiametrica, si dimostra che la misura di Hausdorff n-dimensionale coincide, a meno di una costante di normalizzazione, con la misura di Lebesgue su R^n, confermando come le misure di Hausdorff rappresentino un raffinamento e una generalizzazione della teoria classica.

This thesis aims, using exterior measures, to introduce Hausdorff measures as a refinement of the Lebesgue measure on R^n. In the first part, after reviewing the foundations of measure theory and the Riesz Representation Theorem, the concept of exterior measure is explored in depth and, using the Carathéodory Extension Theorem, we see how this relates to the concept of positive measure. More specifically, we show how exterior measures are a tool for constructing positive measures. In this way, we rediscover the Lebesgue measure and define Hausdorff measures. Subsequently, after defining s-dimensional Hausdorff measures and studying their fundamental properties, we show the definition of Hausdorff dimension. The final part of the thesis is dedicated to studying the relationship between Hausdorff measure and Lebesgue measure. Using Steiner symmetrization and the isodiametric inequality, it is shown that the n-dimensional Hausdorff measure coincides, up to a normalization constant, with the Lebesgue measure on R^n, confirming that Hausdorff measures represent a refinement and a generalization of the classical theory.