Il modello Poisson--Gamma per la gestione dell’overdispersione nei dati di conteggio: applicazione al sistema CUP dell’ASL3 Genovese

Abstract

L’obiettivo della tesi è sviluppare un modello teorico per descrivere dati di conteggio caratterizzati da forte variabilità e, successivamente, applicarlo all’analisi del sistema CUP dell’ASL3. Dopo aver introdotto le principali distribuzioni di conteggio, si presenta il quadro dei modelli misti di Poisson, mostrando come la miscela Poisson–Gamma conduca alla distribuzione Binomiale Negativa e permetta di gestire l’overdispersione. L’estensione ai processi nel tempo porta ai processi di Cox, di cui il processo Poisson–Gamma costituisce un caso particolare con intensità casuale Gamma. Per gli obiettivi della tesi si considera un modello specifico: un processo di Cox con intensità a tratti costante, in cui a ciascun giorno è associato un valore di intensità casuale estratto da una distribuzione Gamma diversa e indipendente tra i giorni. Questa struttura permette di modellare in modo realistico l’eterogeneità giornaliera e la variabilità sistematica dei conteggi, mantenendo una formulazione analiticamente trattabile. La parte applicativa utilizza questo modello per analizzare le prescrizioni di colonscopia dell’ASL3 Genovese. I parametri vengono stimati dai dati reali, verificando che il processo di Cox con intensità a tratti costante descrive adeguatamente la variabilità osservata e riproduce gli effetti stagionali. Infine, la struttura stimata viene utilizzata per simulare scenari alternativi di assegnazione degli appuntamenti, mostrando come diverse politiche di assegnazione possano migliorare le principali criticità del sistema CUP, in particolare i tempi di attesa e la quota di pazienti fuori soglia. La tesi si propone quindi di collegare un rigoroso inquadramento teorico dei modelli Poisson misti con un’applicazione pratica a un sistema sanitario reale.

The aim of this thesis is to develop a theoretical model for count data characterised by high variability and, subsequently, to apply it to the analysis of the ASL3 appointment booking system. After introducing the main count distributions, the theory of mixed Poisson models is presented, showing how the Poisson–Gamma mixture leads to the Negative Binomial distribution and allows for the modelling of overdispersion. The extension to temporal processes naturally leads to Cox processes, of which the Poisson–Gamma process is a particular case with Gamma-distributed random intensity. For the purposes of the thesis, a specific model is considered: a Cox process with piecewise constant intensity, where each day is associated with a random intensity value drawn from a Gamma distribution that varies independently across days. This structure makes it possible to realistically model both the day-to-day heterogeneity and the systematic variability of the counts, while maintaining an analytically tractable formulation. The applied part uses this model to analyse colonoscopy prescriptions from the ASL3 health district. The parameters are estimated from real data, confirming that the Cox process with piecewise constant intensity adequately reproduces the observed variability and seasonal patterns. Finally, the estimated structure is used to simulate alternative appointment-allocation scenarios, showing how different allocation strategies can improve the main criticalities of the ASL3 booking system, particularly waiting times and the proportion of patients exceeding the clinical thresholds. The thesis therefore aims to bridge rigorous theoretical modelling of mixed Poisson processes with a practical application to a real healthcare system.