Il teorema del punto fisso di Brouwer e alcuni teoremi equivalenti

Abstract

L’obiettivo principale di questa tesi è enunciare e dimostrare uno tra i più importanti risultati in topologia generale, ovvero il teorema del punto fisso di Brouwer. Verranno dimostrati alcuni suoi corollari tra cui il teorema di Miranda-Poincaré e il teorema di invarianza del dominio di Brouwer. Verrà poi provata l’equivalenza tra il teorema del punto fisso di Brouwer e il teorema di Hex, nelle loro rispettive generalizzazione in n dimensioni. Infine verrà dimostrata l’equivalenza tra il teorema del punto fisso di Brouwer in due dimensioni, il teorema di Hex per due giocatori nella sua forma forte e il teorema della curva di Jordan.

The main purpose of this thesis is to state and demonstrate one of the most important result of general topology, the Brouwer’s fixed point theorem. We are going to prove two of its famous consequences: the Miranda-Poincaré theorem and the Brouwer’s invariance of the domain theorem. Then we are going to demonstrate the equivalence between Brouwer’s fixed point theorem and Hex theorem, both in their n dimensional generalization. In the end, we are going to prove the equivalence between Brouwer’s two dimensional fixed point theorem, Hex theorem for two players in its strong version and the Jordan’s curve theorem.