Teorema della curva di Jordan

Abstract

In questo elaborato sono esposte due tra le possibili dimostrazioni del Teorema della curva di Jordan, di cui l'enunciato: sia C una curva piana semplice chiusa. Il complementare nel piano di C è costituito da due componenti connesse, una limitata e una illimitata, entrambe aventi C come frontiera.

Tramite le due dimostrazioni esposte, l’obiettivo di questa tesi sarà stabilire un collegamento tra l’intuizione geometrica e la scrittura di una prova formale.

Il teorema risulta fondamentale nello studio della topologia del piano, perché garantisce l’esistenza di due regioni di piano distinte, dette interno ed esterno, che costituiscono il complementare di ciascuna curva chiusa piana, per quanto visivamente complicata la curva possa apparire.

Il primo capitolo contiene tutte le definizioni, proposizioni e teoremi preliminari che saranno impiegati nelle dimostrazioni del Teorema della curva di Jordan. Inoltre permetterà di fissare la notazione. I protagonisti della prima sottosezione sono i poligoni di Jordan, riguardo ai quali sono enunciati e dimostrati tre risultati cardine per la prima dimostrazione del Teorema della curva di Jordan. Inoltre si trovano un piccolo approfondimento sulle funzioni uniformemente continue e uno sulle corde di una curva di Jordan. La seconda sottosezione `e dedicata a presentare le nozioni di geometria differenziale che ci saranno utili. Ad esempio, si introducono l’indice di avvolgimento di una curva chiusa piana, sollevamenti e omotopie e infine gli intorni tubulari.

Il secondo capitolo contiene le due effettive dimostrazioni del teorema: ciascuna è divisa in due parti, una per mostrare che il complementare nel piano di una curva di Jordan ha almeno due componenti connesse, l’altra per provare che ne ha al massimo due.

This thesis outlines two possible proofs for the Jordan Curve Theorem. It can be stated as: let C be a a simple closed planar curve, then its complement consists of two connected components, one of which is bounded and the other is unbounded. The curve C is the boundary of both components.

Through these two proofs, the thesis aims to establish a connection between geometric intuition and the formal writing of a proof.

The theorem is fundamental in the study of planar topology because it guarantees the existence of two distinct regions of the plane, called the interior and exterior, which make up the complement of any closed planar curve, despite how visually complicated the curve may appear.

The first chapter contains all the preliminary definitions, propositions, and theorems that will be used in both proofs of the Jordan Curve Theorem. It will also establish the notation. The protagonists of the first subsection are Jordan polygons, for which three key results are stated and proven. In addition, there is a small section on uniformly continuous functions and one on chords of a Jordan curve. The second subsection is dedicated to presenting the notions of differential geometry that will be useful, such as the winding number of a closed planar curve, lifts, homotopies, and finally tubular neighborhoods.

The second chapter contains the two actual proofs of the theorem: each is divided into two parts, one to show that the complement in the plane of a Jordan curve has at least two connected components, and the other to prove that it has at most two.