Bias di Chebyshev

Abstract

In questa tesi verrà analizzato il bias di Chebyshev, un fenomeno riscontrato per la prima volta nel 1853 che riguarda la distribuzione dei numeri primi dispari le cui classi di resto modulo 4 sono congrue a 1 o a 3. In particolare, contando i primi minori di un certo valore, accade molto spesso che quelli congrui a 3 modulo 4 siano in numero maggiore rispetto a quelli congrui a 1 modulo 4, ed è invece molto raro il contrario, quando invece ci si aspetterebbe una distibuzione uniforme dei due casi. Lo scopo della tesi sarà definire una densità adeguata per poter studiare tale distorsione in un contesto più generale, sfruttando pesantemente congetture non ancora dimostrate come l'ipotesi di Riemann generalizzata e l'ipotesi di grande semplicità per gli zeri delle funzioni L di Dirichlet, e successivamente analizzare numericamente il caso specifico menzionato in precedenza. In conclusione, si studierà il comportamento asintotico della distorsione, mostrando che tende a dissolversi all'infinito.

During this thesis we will talk about Chebyshev's bias, an unexpected behaviour firstly noticed in 1853 regarding the distribution of odd prime numbers congruent to 3 or 1 modulo 4. In particular, counting how many primes exist before a given value, we can notice that primes congruent to 3 modulo 4 are often more than the ones congruent to 1 modulo 4, whereas the opposite case is so much rare, even if we expect an uniform distribution of these two situations. Our goal will be defining a right density to study the bias, generalizing the problem to all the residue classes, lying on two unsolved conjectures, the Riemann Generalized Hypothesis and the Grand Simplicity Hypothesis, about the zeros of Dirichlet L functions, and then make deeper numerical investigations about the specific case aforementioned. In conclusion, we will study the bias asymptotic behaviour, showing that it tends to disappear at infinity.