Il grado topologico e il teorema di punto fisso di Brouwer.

Abstract

In questo elaborato si introduce la nozione di grado topologico di una funzione. Dopo una prima definizione, data sotto alcune ipotesi restrittive per evidenziarne il significato intuitivo, si estenderà la definizione ad una classe più ampia di funzioni. Si esamineranno poi alcune proprietà fondamentali del grado: in particolare, a partire da risultati di stabilità, si dimostrerà che il grado è un numero intero e che è invariante per omotopia. Infine, si illustreranno alcune applicazioni che derivano direttamente da queste proprietà, come il teorema di punto fisso di Brouwer.

This paper introduces the notion of the topological degree of a function. After giving an initial definition under certain restrictive assumptions to highlight its intuitive meaning, the definition will be extended to a broader class of functions. Some fundamental properties of the degree will then be examined: in particular, starting from stability results, it will be shown that the degree is an integer and invariant under homotopy. Finally, some applications that directly follow from these properties will be presented, such as Brouwer’s fixed point theorem.