Reti e filtri in topologia

Abstract

Questa tesi si propone di introdurre e analizzare due teorie di convergenza che generalizzano la convergenza delle successioni in spazi metrici a spazi topologici arbitrari: le reti e i filtri. In particolare, definiamo i concetti di sottorete, rete universale, prefiltro e ultrafiltro. Presentiamo quindi un’applicazione delle reti e dei filtri alla teoria dei compatti: la dimostrazione del Teorema di Tychonoff. Osserviamo infine che le dimostrazioni di tale Teorema con le reti e i filtri risultano essere più immediate rispetto a quella proposta nel corso di topologia.

This thesis aims to introduce and analyze two theories of convergence which both generalize the convergence of sequences in metric spaces to arbitrary topological spaces: nets and filters. In particular, we define the concepts of subnet, universal net, prefilter and ultrafilter. Then we present an application of nets and filters to the theory of compact spaces: the proof of Tychonoff’s Theorem. Finally, we observe that the proofs of such Theorem using nets and filters are more immediate than the one presented in the topology course.