On the Distribution of Sequences Supported on Sums of Two Squares under Type I/II Conditions

Abstract

Ispirati dal lavoro di Ford e Maynard sulle successioni che producono numeri primi, data una sequenza non-negativa $(a_n)$ supportata su $(x/2,x]$, studiamo quando la somma ammette una formula asintotica quando ristretta agli interi che sono somme di due quadrati. Più precisamente, data una sequenza di confronto semplice $(b_n)$, indaghiamo se le stime di Tipo I e Tipo II siano sufficienti a garantire \[ \sum_{\substack{x/2<n\le x\\ n\in \bold{B}}} a_n \sim \sum_{\substack{x/2<n\le x\\ n\in \bold{B}}} b_n, \] per \(x\to\infty\), dove $\bold{B}$ denota l'insieme degli interi rappresentabili come somma di due quadrati. Questo estende parzialmente i metodi di Ford-Maynard, che erano riguardanti il caso in cui $\bold{B}$ è l'insieme dei numeri primi.

Seguendo la struttura di Ford-Maynard, introduciamo costanti $C^-(\gamma,\theta,\nu)$ e $C^+(\gamma,\theta,\nu)$ che descrivono i limiti inferiore e superiore ottimali ottenibili dalle stime di Tipo I e Tipo II.

Mostriamo che quando $(\gamma, \theta, \nu)$ soddisfa alcune semplici condizioni, allora Tipo~I/II implica $C^-=C^+=1$, fornendo l'asintotica desiderata. Viceversa, se le condizioni falliscono, costruiamo controesempi espliciti mostrando che $C^-~<~1~<~C^+$.

Come nel lavoro di Ford e Maynard, la nostra analisi si basa su un'identità di Linnik troncata per vettori, uno studio geometrico di particolari insiemi $\mathcal{R}$ e $\mathcal{C(R)}$, e un uso raffinato di stime di Tipo I/II su intervalli corti. Inoltre, introduciamo un'analisi dei piccoli divisori primi in questo argomento. Questo estende parzialmente la teoria di Ford–Maynard dai primi agli interi rappresentabili come somme di due quadrati.

Inspired by the work of Ford and Maynard on prime--producing sieves, given a non-negative sequence $(a_n)$ supported on $(x/2,x]$, we study when it admits an asymptotic formula when restricted to integers that are sums of two squares. More precisely, given a simple comparison sequence $(b_n)$, we investigate whether Type I and Type II estimates are sufficient to guarantee \[ \sum_{\substack{x/2<n\le x\\ n\in \bold{B}}} a_n \sim \sum_{\substack{x/2<n\le x\\ n\in \bold{B}}} b_n, \] as \(x\to\infty\), where $\bold{B}$ denotes the set of integers representable as a sum of two squares. This partly extends the methods of Ford-Maynard, which were concerned with the case when $\bold{B}$ is the set of prime numbers.

Following the framework of Ford-Maynard, we introduce constants $C^-(\gamma,\theta,\nu)$ and $C^+(\gamma,\theta,\nu)$ describing the optimal lower and upper bounds obtainable from these estimates alone.

We show that when $(\gamma, \theta, \nu)$ satisfies some simple conditions, then Type~I/II implies $C^-=C^+=1$, yielding the desired asymptotic. Conversely, if the conditions fail, we construct explicit counterexamples showing that $C^-~<~1~<~C^+$.

As in Ford and Maynard's work, our analysis relies on a truncated Linnik identity for vectors, a geometric study of particular sets $\mathcal{R}$ and $\mathcal{C(R)}$, and a refined use of Type I/II estimates over short intervals. Additionally, we introduce an analysis of small prime divisors in this argument. This partly extends the Ford–Maynard theory from primes to integers representable as sums of two squares.