Omologia singolare, omologia simpliciale e la loro equivalenza

Abstract

Questa tesi si concentra sui gruppi di omologia singolare e simpliciale in relazione a un particolare tipo di spazi, chiamati Delta-complessi e arriva a dimostrare l'equivalenza tra i due gruppi per tali spazi. Nel primo capitolo della tesi vengono fornite le definizioni di base per comprendere tutta la parte teorica enunciata successivamente. Nel secondo capitolo vengono introdotti i concetti di invarianza omotopica, di successioni esatte corte e lunghe e viene definito il gruppo di omologia relativa, di cui vengono studiate varie proprietà. Il terzo capitolo è principalmente dedicato al teorema di escissione, congiuntamente con alcune proposizioni e un esempio che serviranno per la dimostrazione finale e infine, nell'ultimo capitolo viene dimostrato il risultato cruciale di questa tesi, ovvero l'equivalenza tra i gruppi di omologia simpliciale e singolare relativi ai Delta-complessi.

This thesis focuses on singular and simplicial homology groups for Delta-complexes and proves the equivalence between these groups for such spaces. The first chapter introduces all the basic definitions for understanding the thesis. The second chapter focuses on the concepts of homotopy invariance, short and long exact sequences and relative homology groups and their properties. The third chapter is devoted to the excision theorem, together with some propositions and an example that will be used in the final proof. In the last chapter it is proved the main result of the thesis, which is the equivalence between simplicial and singular homology groups for Delta-complexes.