Processi di Ramificazione e loro applicazioni

Abstract

I processi di ramificazione sono un modello matematico che rappresenta la riproduzione di una popolazione di individui: esseri umani, cellule, neutroni o anche cognomi. Nella seguente tesi analizzeremo i processi di Bienaymé-Galton-Watson: sviluppati nel XIX secolo per studiare l’estinzione dei cognomi, sono oggi utilizzati in svariati ambiti di applicazione matematica.

Un ruolo particolare è svolto dal valore atteso degli individui che permette di fare previsioni sullo sviluppo della popolazione; la funzione generatrice, strumento centrale dell’analisi; e la probabilità di estinzione della popolazione, che analizza la probabilità della scomparsa di una popolazione sul lungo periodo. Su quest’ultimo argomento verrà evidenziato come la struttura della popolazione influenza la sopravvivenza o l'estinzione di essa.

Infine, dopo l’introduzione matematica, è analizzata un’applicazione dei processi di ramificazione per la rappresentazione dello sviluppo di un virus: dopo aver descritto la dinamica del contagio, spieghiamo perché il modello è approssimabile con un processo di ramificazione, calcoliamo la probabilità di estinzione del virus, la durata dell’epidemia e gli effetti della vaccinazione di una percentuale della popolazione prima dell’arrivo del virus.

Branching processes are mathematical models that describe the reproduction of a population of individuals, such as human beings, cells, neutrons, or even surnames. This thesis examines Bienaymé–Galton–Watson processes. Originally developed in the XIX century to study the extinction of family names, these processes are now used in a wide range of mathematical applications.

Particular attention is devoted to the expected number of individuals, which enables predictions about the evolution of the population; the generating function, a key analytical tool; and the probability of population extinction, which measures the likelihood that a population will disappear in the long term. With regard to extinction, we highlight how the structure of a population affects its chances of survival or extinction.

Finally, following the mathematical introduction, we explore an application of branching processes to model the spread of a virus. After describing the dynamics of transmission, we explain why the model can be approximated by a branching process and calculate the probability of the virus becoming extinct, the duration of the epidemic, and the effects of vaccinating a proportion of the population before the virus is introduced.