Introduzione alle funzioni a variazione limitata e legame con la teoria della misura

Abstract

L'elaborato si propone di introdurre le nozioni di variazione per una funzione di variabile reale e di funzione a variazione limitata, di presentarne alcune proprietà fondamentali e di metterle in relazione con la teoria della misura. Nel primo capitolo il lavoro si concentra sulle definizioni fondamentali e sui risultati di base, per presentare in chiusura il teorema centrale dell'elaborato, che stabilisce, mediante una serie di risultati ausiliari di teoria della misura come ad esempio la decomposizione di Lebesgue, una bigezione tra le misure finite con segno sulla retta reale dotata della sigma-algebra di Borel e l'insieme delle funzioni a variazione limitata, continue da destra e che svaniscono a meno infinito. Nel secondo capitolo, con l'introduzione della nozione di assoluta continuità per le funzioni di variabile reale, lo scopo principale diventa quello di studiare l'interazione tra la nozione introdotta con quella analoga proveniente dalla teoria della misura, arrivando così a raffinare la bigezione presentata nel capitolo precedente con una seconda bigezione relativa all'insieme delle misure finite con segno su R dotato della sigma-algebra di Borel assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue 1-dimensionale.

This work aims to introduce the notions of variation for a function of a real variable and of a function of bounded variation, to present their fundamental properties, and to relate them to measure theory. The first chapter focuses on basic definitions and results, concluding with the presentation of the central theorem of the thesis. This theorem establishes, through a series of auxiliary results in measure theory such as the Lebesgue decomposition, a bijection between finite signed measures on the real line endowed with the Borel sigma-algebra and the set of functions of bounded variation that are right-continuous and vanish at minus infinity. In the second chapter, by introducing the notion of absolute continuity for functions of a real variable, the main purpose becomes the study of the interaction between this concept and its measure-theoretic analogue. This analysis leads to a refinement of the bijection presented in the previous chapter, yielding a second bijection concerning the set of finite signed measures on R, endowed with the Borel sigma-algebra, that are absolutely continuous with respect to the one-dimensional Lebesgue measure.