Determinazione del prezzo delle opzioni barriera di prima e seconda generazione tramite l’approccio Monte Carlo condizionato

Abstract

Questa tesi analizza modelli di valutazione avanzati per derivati esotici path-dependent, come le opzioni barriera di prima e seconda generazione, con un focus sull'ottimizzazione della precisione del pricing attraverso tecniche Monte Carlo. L'analisi evidenzia i limiti del metodo Monte Carlo standard e i vantaggi derivanti dall'impiego dell'approccio Monte Carlo condizionato, proposto da El Babsiry (1998), per la determinazione del prezzo di strumenti derivati con un payoff caratterizzato dal monitoraggio continuo di un determinato livello, come nel caso delle opzioni barriera. Mentre le opzioni path-dependent richiedono un monitoraggio continuo del prezzo dell'asset, le simulazioni pratiche sono limitate da una discretizzazione temporale; questa discrepanza introduce un errore di discretizzazione nei risultati del cosiddetto Monte Carlo "crudo". Per ovviare a questa inefficienza, viene valutato come la tecnica del Monte Carlo condizionato mitighi tali errori attraverso la stima della distribuzione analitica del massimo o del minimo dell'asset per ogni percorso simulato. Il lavoro adotta un quadro metodologico omogeneo, applicato coerentemente a tutte le tipologie di opzioni esaminate nell'analisi. In primo luogo, vengono introdotte e definite formalmente le formule di pricing e le corrispondenti strutture dei payoff. Successivamente, il prezzo dell'opzione viene stimato tramite simulazioni Monte Carlo standard sotto diverse frequenze di monitoraggio, al fine di valutare l'impatto della discretizzazione ed evidenziare la presenza del relativo errore. Infine, viene implementato il metodo Monte Carlo condizionato, secondo l'approccio di El Babsiry, volto a mitigare tale errore e a migliorare sia la precisione che l'efficienza computazionale della procedura di valutazione.

This thesis investigates advanced valuation models for path-dependent exotic derivatives, such as first and second-generation barrier options, with a focus on optimizing pricing accuracy through Monte Carlo techniques. This analysis highlights the limitations of the standard Monte Carlo and the advantages of implementing the conditional Monte Carlo approach, proposed by El Babsiry (1998), for pricing derivatives with a payoff characterized by a continuous monitoring of a level, like the barrier. While path-dependent options require continuous monitoring of the asset price, practical simulations are limited by discrete time-stepping; this discrepancy introduces a discretization bias in the so called “crude” Monte Carlo results. To address this inefficiency, it is evaluated how the Conditional Monte Carlo technique mitigates such errors through the estimation of the analytical distribution of the asset's maximum or minimum for each simulated path. This work adopts a homogeneous methodological framework consistently applied across all the analysed options. First, the pricing formula and the corresponding payoff structure are introduced and formally defined. Next, the option price is estimated through crude Monte Carlo simulations under different monitoring frequencies in order to assess the impact of discretization and to highlight the presence of the associated bias. Finally, a conditional Monte Carlo method, i.e. the El Babsiry’s approach, is implemented to mitigate this bias and improve both the accuracy and computational efficiency of the pricing procedure.