Laurea Triennale

K-theory topologica e teorema di periodicità di Bott

2026-09-21T00:00:00Z

K-theory topologica e teorema di periodicità di Bott Pilone, Andrea <2004> L'obiettivo di questa tesi è introdurre i fondamenti della K-theory topologica e arrivare a enunciare e dimostrare il teorema di periodicità di Bott nel caso complesso. Nel primo capitolo viene introdotta la teoria dei fibrati vettoriali (reali e complessi) su spazi topologici, presentandone le costruzioni di base e i risultati fondamentali. Il secondo capitolo si occupa dei fibrati vettoriali sulle sfere, per i quali vengono riportati dei risultati di classificazione a meno di isomorfismo. La K-theory viene trattata nella seconda parte dell'elaborato. Inizialmente, vengono definiti i K-anelli di uno spazio topologico mediante la costruzione del gruppo di Grothendieck e, nel caso complesso, vengono ricavate le successioni esatte in K-theory per spazi compatti Hausdorff. Successivamente, sempre nel caso complesso, vengono definiti i prodotti esterni e viene enunciato il teorema fondamentale del prodotto, di cui è abbozzata una dimostrazione. Infine, questo risultato viene utilizzato per dimostrare il teorema di periodicità di Bott, di cui vengono riportate alcune conseguenze, come il calcolo dei K-anelli complessi delle sfere.; The goal of this thesis is to present the foundations of topological K-theory and to state and prove Bott periodicity theorem in the complex case. The first chapter introduces the theory of real and complex vector bundles over topological spaces, presenting their basic constructions and the fundamental results. The second chapter deals with vector bundles over spheres, providing classification results up to isomorphism. K-theory is then addressed in the second part of the work. First, the K-rings of a topological space are defined by means of the Grothendieck group construction and, in the complex case, exact sequences in K-theory are derived for compact Hausdorff spaces. Next, still focusing on the complex case, external products are defined and the fundamental product theorem is stated, along with an outline of the proof. Finally, this result is used to prove Bott periodicity theorem and several of its consequences are presented, such as the computation of the complex K-rings of spheres.

Omologia singolare, omologia simpliciale e la loro equivalenza

2026-09-21T00:00:00Z

Omologia singolare, omologia simpliciale e la loro equivalenza Innocenti, Valentina <2003> Questa tesi si concentra sui gruppi di omologia singolare e simpliciale in relazione a un particolare tipo di spazi, chiamati Delta-complessi e arriva a dimostrare l'equivalenza tra i due gruppi per tali spazi. Nel primo capitolo della tesi vengono fornite le definizioni di base per comprendere tutta la parte teorica enunciata successivamente. Nel secondo capitolo vengono introdotti i concetti di invarianza omotopica, di successioni esatte corte e lunghe e viene definito il gruppo di omologia relativa, di cui vengono studiate varie proprietà. Il terzo capitolo è principalmente dedicato al teorema di escissione, congiuntamente con alcune proposizioni e un esempio che serviranno per la dimostrazione finale e infine, nell'ultimo capitolo viene dimostrato il risultato cruciale di questa tesi, ovvero l'equivalenza tra i gruppi di omologia simpliciale e singolare relativi ai Delta-complessi.; This thesis focuses on singular and simplicial homology groups for Delta-complexes and proves the equivalence between these groups for such spaces. The first chapter introduces all the basic definitions for understanding the thesis. The second chapter focuses on the concepts of homotopy invariance, short and long exact sequences and relative homology groups and their properties. The third chapter is devoted to the excision theorem, together with some propositions and an example that will be used in the final proof. In the last chapter it is proved the main result of the thesis, which is the equivalence between simplicial and singular homology groups for Delta-complexes.

Processi di Ramificazione e loro applicazioni

2026-09-21T00:00:00Z

Processi di Ramificazione e loro applicazioni Alessandri, Chiara <2004> I processi di ramificazione sono un modello matematico che rappresenta la riproduzione di una popolazione di individui: esseri umani, cellule, neutroni o anche cognomi. Nella seguente tesi analizzeremo i processi di Bienaymé-Galton-Watson: sviluppati nel XIX secolo per studiare l’estinzione dei cognomi, sono oggi utilizzati in svariati ambiti di applicazione matematica. Un ruolo particolare è svolto dal valore atteso degli individui che permette di fare previsioni sullo sviluppo della popolazione; la funzione generatrice, strumento centrale dell’analisi; e la probabilità di estinzione della popolazione, che analizza la probabilità della scomparsa di una popolazione sul lungo periodo. Su quest’ultimo argomento verrà evidenziato come la struttura della popolazione influenza la sopravvivenza o l'estinzione di essa. Infine, dopo l’introduzione matematica, è analizzata un’applicazione dei processi di ramificazione per la rappresentazione dello sviluppo di un virus: dopo aver descritto la dinamica del contagio, spieghiamo perché il modello è approssimabile con un processo di ramificazione, calcoliamo la probabilità di estinzione del virus, la durata dell’epidemia e gli effetti della vaccinazione di una percentuale della popolazione prima dell’arrivo del virus.; Branching processes are mathematical models that describe the reproduction of a population of individuals, such as human beings, cells, neutrons, or even surnames. This thesis examines Bienaymé–Galton–Watson processes. Originally developed in the XIX century to study the extinction of family names, these processes are now used in a wide range of mathematical applications. Particular attention is devoted to the expected number of individuals, which enables predictions about the evolution of the population; the generating function, a key analytical tool; and the probability of population extinction, which measures the likelihood that a population will disappear in the long term. With regard to extinction, we highlight how the structure of a population affects its chances of survival or extinction. Finally, following the mathematical introduction, we explore an application of branching processes to model the spread of a virus. After describing the dynamics of transmission, we explain why the model can be approximated by a branching process and calculate the probability of the virus becoming extinct, the duration of the epidemic, and the effects of vaccinating a proportion of the population before the virus is introduced.

"I Wormhole : Dai ponti di Einstein-Rosen alle soluzioni attraversabili"

2026-09-21T00:00:00Z

"I Wormhole : Dai ponti di Einstein-Rosen alle soluzioni attraversabili" Benazzi, Massimiliano <2003> Il presente elaborato esplora la fattibilità teorica dei cunicoli spaziotemporali, o wormhole, analizzandone l'architettura geometrica e le implicazioni fisiche attraverso il formalismo della Relatività Generale. La ricerca prende le mosse dall'analisi della metrica di Schwarzschild e dalla sua estensione massimale di Kruskal-Szekeres, dimostrando matematicamente la natura causalmente invalicabile del Ponte di Einstein-Rosen. Successivamente, viene affrontato il problema inverso introducendo la metrica di Morris-Thorne, costruita assiomaticamente sui requisiti fisici necessari per un attraversamento umano sicuro, tra cui l'assenza di orizzonti degli eventi e il contenimento delle forze mareali entro limiti biologicamente tollerabili. L'analisi topologica evidenzia che l'apertura del cunicolo verso due universi asintoticamente piatti richiede il soddisfacimento della condizione di svasamento (flaring-out) alla gola. Sostituendo tale vincolo geometrico all'interno delle equazioni di campo di Einstein, si deduce che la tensione radiale deve superare la densità di massa-energia totale del sistema locale. Questo risultato sancisce la violazione della Condizione di Energia Nulla (NEC) e la conseguente necessità teorica di "materia esotica", rivelando il limite strutturale che separa una topologia lorentziana teoricamente ammissibile dalle proprietà fisiche classiche della materia ordinaria.; This thesis explores the theoretical feasibility of spacetime tunnels, or wormholes, analyzing their geometric architecture and physical implications through the formalism of General Relativity. The research begins with the analysis of the Schwarzschild metric and its Kruskal-Szekeres maximal extension, mathematically demonstrating the causally impassable nature of the Einstein-Rosen bridge. Subsequently, the inverse problem is addressed by introducing the Morris-Thorne metric, axiomatically constructed upon the physical requirements necessary for safe human traversal, including the absence of event horizons and the containment of tidal forces within biologically tolerable limits. Topological analysis highlights that the opening of the tunnel toward two asymptotically flat universes requires the fulfillment of the flaring-out condition at the throat. By substituting this geometric constraint into the Einstein field equations, it is deduced that the radial tension must exceed the total mass-energy density of the local system. This result establishes the violation of the Null Energy Condition (NEC) and the consequent theoretical necessity for "exotic matter", revealing the structural limit that separates a theoretically admissible Lorentzian topology from the classical physical properties of ordinary matter.