Deviazione spettrale degli operatori di Toeplitz agenti su spazi di Hilbert a nucleo riproducente

Abstract

In "Spectral deviation of concentration operators for the short-time Fourier transform" [1], Marceca e Romero forniscono una stima per la eigenvalue counting function dell'operatore di concentrazione (o localizzazione) per la STFT. Le stima è robusta e quasi ottimale nel parametro di soglia per gli autovalori. In particolare, vengono trattati i casi di una condizione di tipo Gelfand-Shilov e di un decadimento polinomiale della STFT della funzione finestra stessa. Le dimostrazioni si basano sul fatto che l'operatore di concentrazione tempo-frequenza è unitariamente equivalente alla restrizione di un operatore di Toeplitz sul rango della STFT, e che tale spazio sia un sottospazio di Hilbert a nucleo riproducente nello spazio L^2 sul piano tempo-frequenza. Questa dissertazione mira ad estendere le maggiorazioni spettrali provate in [1] agli operatori di Toeplitz agenti su sottospazi di Hilbert a nuclueo riproducente in spazi L^2 su spazi metrici. Con minime ipotesi sul nucleo e sugli insiemi di livello della distanza dal bordo del dominio di concentrazione che definisce l'operatore di Toeplitz, siamo riusciti ad ottenere le stime desiderate, sempre nei casi di una condizione di tipo Gelfand-Shilov e di un decadimento polinomiale del nucleo. Il caso test dei moltiplicatori di Gabor è stato affrontato separatamente, per sfruttare la sua struttura geometrica aggiuntiva. La ricerca ai fini della tesi è stata condotta all'Applied Harmonic Analysis Cluster dell'Università di Vienna durante un tirocinio finanziato da una Borsa di studio Erasmus+.

In "Spectral deviation of concentration operators for the short-time Fourier transform" [1], Marceca and Romero provide an estimate for the eigenvalue counting function of the concetration (or localisation) operator for the STFT. The estimate is robust and almost sharp in the threshold parameter for the eigenvalues. In particular, the cases of a Gelfand-Shilov-type condition and of a polynomial decay of the STFT of the window function itself are treated. Their proof relies on the fact that the time-frequency concentration operator is unitarily equivalent to the restriction of a Toeplitz operator on the range of the STFT, and that such space is a reproducing kernel Hilbert subspace of the L^2-space on the time-frequency plane. This dissertation aims to extend the threshold-robust spectral bound proved in [1] to Toeplitz operators acting on reproducing kernel Hilbert subspaces of L^2-spaces on metric spaces. Under minimal assumptions on the kernel and the level sets of the distance from the boundary of the concentration domain that defines the Topelitz operator, we were able to derive the desired estimates, again both for a Gelfand-Shilov-type condition and a polynomial decay of the kernel. The test case of Gabor multipliers was studied separately, to exploit its additional geometric structure. The research for this thesis was conducted at the Applied Harmonic Analysis Cluster of the University of Vienna during a traineeship funded by an Erasmus+ Scholarship.