La classificazione delle superfici chiuse.

Abstract

Vengono ripercorsi alcuni concetti partendo dalla definizione delle superfici chiuse, le quali godono di molte proprietà. Verrà richiamato il concetto di triangolabilità di tutte le superfici, che venne dimostrata da Radó nel 1925. Viene definita l'operazione di somma connessa, la quale permette di unire più superfici e rende il loro insieme un semigruppo. Inoltre possono essere suddivise in base alla caratteristica dell'orientabilità o non orientabilità. Queste proprietà appiattiranno la strada per provare il Teorema di classificazione delle superfici chiuse. La principale tecnica utilizzata nella dimostrazione è quella del taglio e cucito. Infine viene introdotto un importante invariante topologico cioè la Caratteristica di Eulero, la quale è un numero intero associato ad una superficie. Tra i vari motivi, è vantaggioso tenere in considerazione questo invariante poiché insieme all'orientabilità permette di semplificare la classificazione delle superfici chiuse.

Some concepts will be revisited starting from the definition of closed surfaces, which enjoy many properties. The concept of triangulating all surfaces, which was proven by Rado in 1925, will be recalled. The operation of connected sum will be defined, which allows to join multiple surfaces and makes their set a semigroup. Moreover, they can be divided based on the characteristic of orientability or non-orientability. These properties will pave the way to prove the Classification Theorem of Closed Surfaces. The main technique used in the proof is that of cutting and pasting. Finally, an important topological invariant will be introduced, namely the Euler Characteristic, which is an integer associated with a surface. Among other reasons, it is advantageous to consider this invariant because, together with orientability, it allows to simplify the classification of closed surfaces.