Possibili sviluppi didattici e divulgativi per la Teoria delle categorie

Abstract

La tesi di laurea si concentra sulla costruzione e lo sviluppo di uno strumento divulgativo sulla teoria delle categorie. La prima parte della tesi affronta gli aspetti teorici del concetto di aggiunzione. Un'aggiunzione è una grande generalizzazione del concetto di biiezione tra insiemi e determina un collegamento preciso tra due categorie. Nella tesi, ho mostrato come uno dei primi esempi di dualità, la dualità di Stone tra spazi topologici booleani e algebre booleane, sia effettivamente dedotta da un'aggiunzione più generale tra algebre booleane e spazi di Hausdorff compatti. Dopo aver affrontato questo argomento tecnico di matematica pura, la seconda parte della tesi riguarda la progettazione di un gioco divulgativo basato su questi concetti. All'interno della tesi, la parte progettuale è presentata in tre capitoli: il primo descrive la prima versione del gioco, con un'analisi dei fattori problematici, mentre il secondo descrive la progettazione del secondo prototipo. L'ultimo capitolo copre vari giochi svolti e le regole che sono state gradualmente modificate, dall'idea originale a quella attuale. Il gioco funziona come segue. Due giocatori si sfidano su una griglia divisa in due metà, ciascuna appartenente a un singolo giocatore. All'inizio del gioco, i giocatori pescano una carta Obiettivo e una carta Aggiunta. La carta Obiettivo mostra una configurazione specifica di frecce che il giocatore deve disegnare nella metà dell'avversario, e per completarla, hanno a disposizione diverse carte, alcune matematiche, come Prodotto, e altre normali. L'aspetto dominante, tuttavia, è il fatto che per trasportare le frecce da una metà del campo all'altra è necessario utilizzare le carte Aggiunta. Ogni giocatore ha una carta aggiunta destra o sinistra e un numero limitato di scelte per disegnare queste frecce. Ogni freccia di questo tipo consente al giocatore di portare nella categoria dell'avversario tutte le frecce che iniziano o finiscono in essa.

The master thesis focuses on the construction and development of a divulgative device on category theory. The first part of the thesis addresses theoretical aspects of the concept of adjunction. An adjunction is a huge generalization of the concept of bijection between sets and it determines a precise link between two categories.In the thesis, I showed how one of the first examples of duality, Stone’s duality between Boolean topological spaces and Boolean algebras, is indeed deduced from a more general adjunction between Boolean algebras and compact Hausdorff spaces. Having addressed this technical topic of abstract mathematics, the second part of the thesis involves designing a divulgative game that is based on these concepts. Within the thesis, the design part is presented in three chapters: the first describes the first version of the game, with an analysis of the problematic factors, while the second describes the design of the second prototype. The last chapter covers various played games and the rules that were gradually modified, from the original idea to the current one. The game works as follows. Two players challenge each other on a grid board divided into two halves,each belonging to a single player. At the beginning of the game, the challengers draw an Objective card and an Adjoint card. The Objective card shows a specific configuration of arrows that the player must draw in the opponent’s half, and to complete it, they have several cards available,some mathematical,such as Product, and others normal. The dominant aspect, however, is the fact that to transport the arrows from one half of the field to the other it is necessary to use the Adjoint cards. Each player has a right or left adjoint, which has different but symmetrical properties, and a limited number of choices to draw these arrows. Each such arrow, called “adjoints arrow,let the player brings into the opponent’s category all the arrows that start or end in it.