Teoria dei nodi e applicazioni

Abstract

La teoria dei nodi è un campo della topologia che studia oggetti matematici chiamati nodi. Nella seguente tesi verrà introdotto un primo approccio a questa teoria e data un'idea di come può essere applicata nello studio del DNA. Saranno definiti i nodi, osservando due modi di descriverli equivalenti e i link. Si affronterà uno dei problemi fondamentali di questa teoria: dare una classificazione di questi oggetti. A questo scopo verrà affrontato il concetto d'equivalenza, arrivando a suddividere i nodi in tame knot e wild knot. Proseguendo lo studio verranno considerati solo i tame knot, i quali hanno il vantaggio di poter essere rappresentati tramite diagrammi regolari. Si dimostrerà, dopo aver introdotto un'equivalenza di diagrammi regolari grazie ai movimenti di Reindemeister, che l'equivalenza tra nodi equivale all'equivalenza tra i diagrammi che li rappresentano. Perciò tramite diagrammi regolari verranno definiti quattro invarianti di nodi, che in questo caso tengono conto di come i rami si intersecano, definiti come crossing number, unknotting number, linking number e writhing number. Infine si mostrerà un'applicazione della teoria nei nodi nello studio del DNA circolare, osservando che questo si può rappresentare come un link a tre componenti. Si proverà a dare un'idea di come la teoria dei nodi possa aiutare a capire il funzionamento del DNA e il tipo di trasformazioni che subisce a causa di particolari enzimi.

Knot theory is a field of topology that studies mathematical knots. This thesis presents a first approach to this theory and an idea of how it can be applied in the study of DNA. Knots and links will be defined by observing two equivalent ways of describing them. One of the typical problems of this theory is the classification problem, so a knot equivalence will be tackled and knots will be divided into tame knots and wild knots. Continuing the study, only tame knots will be considered, which have the advantage of being represented through regular diagrams. It will be demonstrated, after introducing a diagram equivalence thanks to Reindemeister's moves, that knot equivalence is equivalent to diagram equivalence. Therefore, four knot invariants will be defined through regular diagrams: crossing number, unknotting number, linking number and writhing number. Finally, observing that a circular DNA molecule can be represented as a link with three components, an application of knot theory in the study of DNA will be presented by giving an idea of how knot theory can help understand the functioning of DNA and the type of transformations it undergoes due to particular enzymes.