Il Paradosso di Banach-Tarski

Abstract

Il lavoro ha come obiettivo quello di enunciare e dimostrare il paradosso di Banach–Tarski, un risultato di grande rilevanza storica e concettuale che costituisce una conseguenza fortemente controintuitiva dell’assioma della scelta. Vengono presentati risultati tecnici ed esempi relativi ai concetti di equiscomponibilità e paradossalità, che conducono alla dimostrazione del paradosso. Particolare attenzione viene dedicata all’individuazione dei punti in cui interviene l’assioma della scelta, poiché esso rappresenta l’elemento chiave che rende possibile il paradosso.

This work aims to present and prove the Banach–Tarski paradox, a result of great historical and conceptual significance that arises as a highly counterintuitive consequence of the Axiom of Choice. Technical results and illustrative examples concerning the notions of equidecomposability and paradoxical decompositions are introduced and developed, leading to the proof of the paradox. Special attention is devoted to identifying where and how the Axiom of Choice is used, as it constitutes the key element that makes the paradox possible.