Dai giochi classici ai giochi quantistici: l'impatto dell'entanglement sugli equilibri strategici

Abstract

Questa tesi magistrale fornisce una trattazione unificata e rigorosa della teoria dei giochi quantistici, una generalizzazione del quadro classico in cui le strategie sono rappresentate da trasformazioni su stati quantistici. Il lavoro si concentra sull'analisi di giochi a due giocatori, in particolare su giochi 2x2. L'obiettivo è indagare come l'introduzione di risorse quantistiche – quali entanglement e operatori unitari su spazi di Hilbert – possa generare nuovi equilibri strategici e alterare radicalmente le dinamiche di gioco. Il contributo principale consiste nell'organizzare in una struttura logica e gerarchica argomenti spesso presentati in modo frammentario, introducendo al contempo generalizzazioni rigorose e nuovi strumenti analitici. Tra questi, si annoverano la definizione di strategie miste continue, la rappresentazione del payoff in forma quadratica, dimostrazioni dettagliate di risultati fondamentali e la caratterizzazione completa degli equilibri. Un risultato originale della tesi è la dimostrazione dell'esistenza di equilibri di Nash in strategie miste quantistiche continue per giochi 2x2. A differenza dei casi discreti già noti in letteratura, questo approccio consente ai giocatori di scegliere secondo misure di probabilità arbitrarie sull'intero gruppo SU(2), generalizzando così il teorema di Nash al contesto quantistico mediante l'impiego di strumenti matematici più sofisticati.

This Master's thesis provides a unified and rigorous treatment of quantum game theory, a generalization of the classical framework where strategies are represented as transformations on quantum states. The work focuses on the analysis of two-player games, specifically 2x2 games. The objective is to investigate how the introduction of quantum resources—such as entanglement and unitary operators on Hilbert spaces—can generate new strategic equilibria and radically alter game dynamics. The primary contribution lies in organizing often fragmented topics into a logical and hierarchical structure, while simultaneously introducing rigorous generalizations and new analytical tools. These include the definition of continuous mixed strategies, the representation of payoffs in quadratic form, detailed proofs of fundamental results, and the complete characterization of equilibria. An original result of this thesis is the proof of the existence of Nash equilibria in continuous quantum mixed strategies for 2x2 games. Unlike the discrete cases already known in the literature, this approach allows players to choose strategies according to arbitrary probability measures over the entire SU(2) group, thereby generalizing Nash's theorem to the quantum context through the use of more sophisticated mathematical tools.