Proiezioni Subarmoniche per Semigruppi Quantistici Markoviani

Abstract

La tesi si colloca nell'ambito della Probabilità Quantistica e si incentra sullo studio delle proiezioni subarmoniche per Semigruppi Quantistici Markoviani (QMS), con lo scopo di studiare l'estensione quantistica delle nozioni classiche di irriducibilità, transienza e ricorrenza. Dopo aver introdotto le nozioni preliminari, ci si dedica all'analisi delle proprietà dei QMS, ovvero semigruppi di operatori che agiscono su un'algebra di von Neumann che soddisfano determinate condizioni. Successivamente vengono prese in esame le proiezioni subarmoniche, i cui ranghi individuano sottospazi invarianti, caratterizzati dal fatto che l'evoluzione del sistema, una volta entrata, non ne può uscire. Si fornisce, quindi, la nozione di irriducibilità di un QMS, data dall'assenza di proiezioni subarmoniche non banali e, al fine di generalizzare i concetti di ricorrenza (veloce e lenta) e transienza, si introducono opportune proiezioni: la proiezione ricorrente (veloce e lenta) e la proiezione transiente. In particolare, la subarmonicità della proiezione ricorrente (veloce e lenta) rispecchia ciò che accade classicamente. Ricorrenza e transienza si legano inoltre allo studio del comportamento asintotico; si passa, quindi, a introdurre i risultati principali della teoria ergodica. Infine, a titolo esemplificativo, si presenta una speciale classe di QMS, le cui proprietà sono in gran parte determinate da una catena di Markov a tempi continui e possono quindi essere ricondotte a delle problematiche tipicamente classiche.

The thesis is positioned within the field of Quantum Probability and focuses on the study of subharmonic projections for Quantum Markov Semigroups (QMS), with the aim of investigating the quantum extension of the classical notions of irreducibility, transience, and recurrence. After introducing the necessary preliminary concepts, the analysis turns to the properties of QMS, that is, semigroups of operators acting on a von Neumann algebra and satisfying certain conditions. Subharmonic projections are then examined; their ranks identify invariant subspaces characterized by the fact that, once the system's evolution enters them, it cannot leave. The notion of irreducibility for a QMS is then defined as the absence of non-trivial subharmonic projections. In order to generalize the classical concepts of (fast and slow) recurrence and transience, suitable projections are introduced: the recurrent projection (fast and slow) and the transient projection. In particular, the subharmonicity of the recurrent projection (both fast and slow) reflects what happens in the classical setting. Recurrence and transience are also related to the study of asymptotic behavior, leading to the introduction of key results from ergodic theory. Finally, as an illustrative example, a special class of QMS is presented, whose properties are largely determined by a continuous-time Markov Chain and can thus be traced back to typically classical problems.