Il problema di Calderón

Abstract

Questa tesi si concentra sul problema di Calderón, un classico problema inverso proposto nel 1980 come modello per la tomografia a impedenza elettrica. L’obiettivo della tomografia a impedenza elettrica è quello di ricostruire la conduttività interna di un oggetto effettuando misurazioni di tensione e corrente esclusivamente sul suo bordo e trova quindi applicazione in tecniche di imaging non distruttivo, come l’imaging medico e l’imaging geofisico. In questo lavoro si fornisce una formulazione dettagliata del problema, a partire dall’equazione alle derivate parziali della conduttività che lo definisce. Successivamente, viene presentata una formulazione del problema inverso di Calderón associato all’equazione alle derivate parziali di Schrödinger, poiché strettamente correlato al primo. Viene successivamente proposta una dimostrazione dell’unicità interna per l’operatore diretto del problema inverso di Schrödinger, basata sulla costruzione di una classe di soluzioni dell’equazione di Schrödinger chiamate “complex geometrical optics". Nella parte esplorativa del lavoro viene trattato su un risultato che garantisce l’unicità interna per l’operatore diretto di Schrödinger con un numero finito di misurazioni, a condizione che i parametri del modello appartengano a un sottospazio finito-dimensionale. Infine, viene proposto un risultato parziale che potrebbe garantire l’unicità interna per il modello a low-rank con un numero minore di misurazioni, basato su un campionamento casuale delle tensioni sul bordo dell’oggetto.

This thesis focuses on the Calderón problem, a classical inverse problem which was proposed in 1980 as a model for electrical impedance tomography. The goal in electrical impedance tomography is to retrieve the inner conductivity of an object by only making measurements of voltage and current on its boundary and therefore it finds application in non-destructive imaging, such as medical imaging and geophysiscal imaging. In this work a we provide a detailed formulation of the problem, starting with the conductivity partial differential equation that defines it. Afterwards, we give a formulation for the Calderón inverse problem associated with the Schrödinger partial differential equation, as it is strongly related to the previous one. Then we propose a proof of interior uniqueness for the forward operator of the Schrödinger inverse problem which relies on the construction of a class of solution to the Schrödinger PDE called complex geometrical optics. In the exploratory part of this work we focus on a result that guarantees interior uniqueness for the Schrödinger forward map with only a finite number of measurements, , provided the model parameters belong to a finite-dimensional subspace. Lastly, we propose a partial result that could guarantee interior uniqueness for the low-rank model with fewer measurements, relying on randomly sampling the voltages on the object’s boundary.