La dualità di Poincaré

Abstract

Questa tesi si pone come obiettivo lo studio del teorema di Dualità di Poincaré, un risultato importante della topologia algebrica, che stabilisce un legame profondo tra i gruppi di coomologia e i gruppi di omologia di varietà topologiche orientabili.

Per avvicinarci a questo risultato, inizieremo presentando alcuni strumenti preliminari di algebra omologica e di topologia algebrica necessari alla trattazione, come i limiti diretti e risultati fondamentali sulle successioni esatte, tra cui il teorema di escissione e la successione esatta di Mayer–Vietoris, che verranno utilizzati ripetutamente nelle dimostrazioni successive.

Nel secondo capitolo introdurremo, in una forma che rifletta l'intuizione geometrica, il concetto di orientazione, locale e globale. Dopo aver studiato alcune proprietà garantite dall'orientabilità nelle varietà topologiche, costruiremo la classe fondamentale, elemento indispensabile per formulare e dimostrare il teorema di dualità.

Nel terzo capitolo affronteremo la definizione del prodotto cap, strumento che consente di stabilire l'isomorfismo tra gruppi di coomologia e gruppi di omologia, e introdurremo i gruppi di coomologia a supporto compatto, una variante dei classici gruppi di coomologia che permette di estendere il teorema di dualità a varietà non necessariamente compatte. Successivamente presenteremo la dimostrazione del teorema di Dualità di Poincaré, partendo dal caso di aperti nello spazio euclideo fino ad arrivare alla generalità delle varietà.

La parte finale della tesi è dedicata ad alcune applicazioni del teorema. In particolare, verrà utilizzato nella costruzione della sfera di Poincaré, una varietà tridimensionale introdotta da Henri Poincaré che mette in luce la necessità di riformulare correttamente la celebre congettura da lui proposta nei primi anni del Novecento. Infine, mostreremo grazie al teorema di dualità che la caratteristica di Eulero di una qualsiasi varietà chiusa di dimensione dispari è sempre nulla.

This thesis is devoted to the study of Poincaré Duality, a fundamental result in algebraic topology that establishes a profound connection between the cohomology groups and the homology groups of orientable topological manifolds. In order to approach this result, we begin by presenting some preliminary tools from homological algebra and algebraic topology that are essential for the discussion, such as direct limits and fundamental results concerning exact sequences, including the Excision Theorem and the Mayer–Vietoris exact sequence, which will be repeatedly employed in subsequent proofs. In the second chapter, we introduce, so as to preserve its geometric intuition, the concept of orientation, both local and global. After examining several properties ensured by orientability in topological manifolds, we construct the fundamental class, an indispensable element for formulating and proving the duality theorem. The third chapter is dedicated to the definition of the cap product, a key tool that allows us to establish the natural isomorphism between cohomology groups and homology groups. We then introduce cohomology groups with compact support, a variant of classical cohomology groups that makes it possible to extend the duality theorem to general, not necessarily compact, manifolds. Once these objects are formalized, we present the proof of Poincaré Duality, starting from the case of open subsets of Euclidean space and extending to general manifolds. The final part of the thesis is devoted to some applications and consequences of the theorem. In particular, we apply it to the construction of the Poincaré sphere, a three-dimensional manifold introduced by Henri Poincaré, which highlights the need to correctly reformulate the celebrated conjecture he proposed in the early twentieth century. Finally, we show, by means of the duality theorem and certain tools from homological algebra, that the Euler characteristic of any closed odd-dimensional manifold equals zero.