Basi di Gröbner a coefficienti in anelli arbitrari

Abstract

Le basi di Gröbner, introdotte da Bruno Buchberger nel 1965, sono strumenti fondamentali per risolvere problemi di algebra computazionale. Nella versione originale sono insiemi di generatori "speciali" per ideali dell'anello dei polinomi con un numero arbitrario di variabili a coefficienti in un campo. Questa tesi si concentra sullo sviluppo di una teoria delle basi di Gröbner per ideali negli anelli polinomiali con coefficienti in un anello commutativo e unitario arbitrario. In generale, una base di Gröbner di un ideale nell'anello dei polinomi a coefficienti nell'anello commutativo e unitario è un insieme di generatori dell'ideale che ha proprietà speciali rispetto ad una divisione con resto generalizzato. Quando i coefficienti sono in un anello arbitrario, anche particolarmente semplice come l'anello degli interi o altri domini euclidei, sorgono nuove difficoltà. I coefficienti diventano rilevanti nella divisione, il che richiede un adattamento del concetto stesso di divisione polinomiale. Nel caso classico il calcolo di una base di Gröbner è basato sulla divisione con resto e sui cosiddetti S-polinomi che sono, essenzialmente, i generatori canonici del modulo delle sizigie fra i monomi principali dei polinomi sotto indagine. Nel caso di interesse in questa tesi si deve adattare il concetto di S-polinomio per tener conto del fatto che le sizigie di monomi dipendono molto anche dalla natura dei coefficienti. I temi trattati si basano principalmente sul capitolo 4 del libro "An Introduction to Gröbner Bases" di William W. Adams e Philippe Loustaunau che esplora le basi di Gröbner con coefficienti in anelli. Inoltre, si fa riferimento all'articolo "On Systems of Linear Diophantine Equations" di Felix Lazebnik, che tratta della risoluzione di equazioni lineari nell'anello dei numeri interi e il cui metodo è qui generalizzato ai domini euclidei.

Gröbner bases, introduced by Bruno Buchberger in 1965, are fundamental tools for solving computational algebra problems. In their original version, they are "special" sets of generators for ideals in the ring of polynomials with an arbitrary number of variables and coefficients in a field. This thesis focuses on developing a theory of Gröbner bases for ideals in polynomial rings with coefficients in an arbitrary commutative and unital ring. In general, a Gröbner basis of an ideal in the polynomial ring with coefficients in a commutative and unital ring is a set of generators of the ideal that possesses special properties with respect to a generalized division algorithm. When the coefficients belong to an arbitrary ring, even one as simple as the ring of integers or other Euclidean domains, new challenges arise. The coefficients become crucial in the division process, requiring an adaptation of the very concept of polynomial division. In the classical case, the computation of a Gröbner basis relies on division with remainder and the so-called S-polynomials, which are essentially the canonical generators of the syzygy module among the leading monomials of the polynomials under consideration. In the context of this thesis, the concept of S-polynomials must be adapted to account for the fact that the syzygies of monomials strongly depend on the nature of the coefficients. The topics discussed are primarily based on Chapter 4 of the book "An Introduction to Gröbner Bases" by William W. Adams and Philippe Loustaunau, which explores Gröbner bases with coefficients in rings. Additionally, reference is made to the article "On Systems of Linear Diophantine Equations" by Felix Lazebnik, which addresses the resolution of linear equations in the ring of integers, and whose method is generalized here to Euclidean domains.